mtk: bukti ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk Integral

Senin, 17 Januari 2011

bukti ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk Integral

Ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk integral :

$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx$

Bukti:

perhatikan integral lipat dua dari

$F(x,y)=(f(x)g(y)-f(y)g(x))^2$

atas persegi panjang

$R={(x,y):a\leq x\leq b,a\leq y\leq b}$

maka

$\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}[f(x)g(y)-f(y)g(x)]^2dydx\geq 0$

$\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}[f(x)g(y)-f(y)g(x)]^2dydx=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}(f^2(x)g^2(y)+f^2(y)g^2(x)-2f(x)g(x)f(y)g(y))dydx\Rightarrow$

$\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}[f(x)g(y)-f(y)g(x)]^2dydx=\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f^2(x)g^2(y)dydx+\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f^2(y)g^2(x)dydx-2\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x)g(x)f(y)g(y)dydx\Rightarrow$

$\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}[f(x)g(y)-f(y)g(x)]^2dydx=\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(y)dy+\int_{a}^{b}f^2(y)dy\int_{a}^{b}g^2(x)dx-2\int_{a}^{b}\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\int_{a}^{b}f(y)g(y)dy\geq 0$

$2\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\int_{a}^{b}f(y)g(y)dy\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(y)dy+\int_{a}^{b}f^2(y)dy\int_{a}^{b}g^2(x)dx$

$2\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx+\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx$

$2\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx\leq 2\int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx$

$(\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leq \int_{a}^{b}f^2(x)dx\int_{a}^{b}g^2(x)dx$

mtk

Total Tayangan Halaman

Senin, 17 Januari 2011

bukti ketidaksamaan Cauchy-Schwarz untuk Integral

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

berapakah x.......?

Arsip Blog

Cari Blog Ini