mtk: Bukti Hubungan Barisan Finobacci dan Rasio Emas

Jumat, 07 Januari 2011

Bukti Hubungan Barisan Finobacci dan Rasio Emas

Sebelumnya saya sudah posting hubungan Barisan Finobacci dan Rasio Emas,kali ini saya akan mencoba membuktikannya dengan menggunakan induksi matematika.
misalkan:

$s_n...........f_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi ^{n}-(-1)^{n}\phi ^{-n})$
untuk n=1
$f_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2})=1(benar)$
untuk n=2

$f_2=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^2)=1(benar)$
asumsikan
$f_k=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(-1)^k(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)$
akan dibuktikan kebenaran f(k) mengimplikasikan kebenaran f(k+1)

$f_k_+_1=f_k+f_k_-_1=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k-(-1)^k(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k)+\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^-^1-(-1)^k^-^1)(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k^-^1)=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k+(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^-^1-((\frac{\sqrt{5}-1}{2})^k+(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^k^-^1)$

$f_k_+_1=f_k+f_k_-_1=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^-^1)(\frac{3+\sqrt{5}}{2})-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^k^-^1\frac{\sqrt{5}-3}{2})=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^-^1(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^2-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^k^-^1(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^2)$

$f_k_+_1=\frac{1}{\sqrt{5}}((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^+^1-(\frac{\sqrt{5}-1}{2})^k^+^1)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^k^+^1-(-1)^k^+^1(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^k^+^1)=\frac{1}{\sqrt{5}}(\phi ^k^+^1-(-1)^k^+^1)(\phi )^{k+1})$

jadi, terbukti bahwa f(k) mengimplikasikan kebenaran f(k+1).Berdasar prinsip induksi matematika,f(n) benar untuk setiap bilangan asli n

mtk

Total Tayangan Halaman

Jumat, 07 Januari 2011

Bukti Hubungan Barisan Finobacci dan Rasio Emas

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

berapakah x.......?

Arsip Blog

Cari Blog Ini