Jumat, 31 Desember 2010
Bukti teorema L'Hopital
Teorema ini berlaku terus sampai di dapat salah satu dari nilai turunan ke-n dari f(a),g(a) tidak sama dengan nol, atau kedua-duanya tidak sama dengan nol atau tidak berbentuk 0/0 lagi
Bukti:
Sebelum di buktikan harus kita ingat definisi turunan :
karena f(a),f(b)=0, maka f(x)=f(x)-f(a) dan g(x)=g(x)-g(a),sehingga :
Induksi Matematika
Induksi Matematika merupakan salah satu bentuk pembuktian di mana di dalamnya membuktikan suatu pernyataan yang melibatkan sejumlah bilangan asli n berlaku untuk semua bilangan n.Bukti terdiri dari dua langkah:
- Dasar (base case): menunjukkan bahwa pernyataan berlaku jika n adalah sama dengan nilai yang terendah n adalah diberikan dalam pertanyaan. Biasanya, n = 0 atau n = 1.
- . Langkah induktif: menunjukkan bahwa jika pernyataan berlaku untuk beberapa n, maka pernyataan itu juga berlaku jika n + 1 adalah digantikan untuk n.
Asumsi dalam langkah induktif bahwa pernyataan berlaku untuk beberapa n disebut hipotesis induksi (atau hipotesis induktif). Untuk melakukan langkah induktif, kita mengasumsikan hipotesis induksi dan kemudian menggunakan asumsi ini untuk membuktikan pernyataan untuk n + 1.
Pilihan antara n = 0 dan n = 1 dalam kasus dasar khusus untuk konteks bukti: Jika 0 adalah dianggap sebagai nomor asli, seperti di bidang kombinatorik dan logika matematika, maka n = 0. Jika, di sisi lain, 1 diambil sebagai bilangan pertama nomor asli, maka kasus dasar adalah n = 1.
1. Domino pertama akan jatuh
2. Setiap kali domino jatuh, yang berikutnya juga akan jatuh,
sehingga disimpulkan bahwa semua domino akan jatuh, dan bahwa fakta ini tidak dapat dihindari.
Analogi lain dapat juga di umpamakan seperangkat identik lily pads, semua sama-sama dalam satu baris spasi di kolam, dengan bunga lili pertama dan terakhir bantalan berdekatan dengan dua sisi kolam Jika ingin katak melintasi kolam, ia harus:
1. Tentukan apakah lily pad pertama akan menahan berat badannya.
2. Membuktikan bahwa dia bisa melompat dari satu lily pad yang lain.
Dengan demikian, ia dapat menyimpulkan bahwa dia bisa melompat ke semua lily pads, namun banyak bantalan lily ada, dan menyeberangi kolam.- Aksioma Induksi
Asumsi dasar atau aksioma induksi (diterima tidak terbukti) adalah, dalam simbol-simbol logika:
di mana P adalah proposisi yang bersangkutan, k dan n adalah bilangan asli
Dengan kata lain, landasan P (0) yang benar bersama dengan kasus induktif ( "P (k) benar mengimplikasikan P (k + 1) benar" untuk semua k asli) yang benar bersama-sama berarti bahwa P (n) adalah benar untuk setiap bilangan n alami. Bukti dengan induksi, kemudian bukti bahwa kedua kondisi terus, dengan demikian menyiratkan kesimpulan yang diperlukan.
Ini bekerja karena k digunakan untuk mewakili asli sebarang .kemudian dengan menggunakan hipotesis induktif, yaitu bahwa P (k) benar, tunjukkan P (k + 1) juga benar. Hal ini memungkinkan kita untuk "membawa" fakta bahwa P (0) adalah benar dengan kenyataan bahwa P (1) juga benar, dan membawa P (1) ke P (2), dan lain-lain, sehingga membuktikan P (n) berlaku untuk setiap bilangan n asli
Perhatikan bahwa pembilang pertama dalam rentang aksioma atas predikat dan bukan atas nomor individu. Hal ini disebut orde kedua pembilang, yang berarti bahwa aksioma dinyatakan dalam urutan kedua logika. Aksioma Aritmetika induksi dalam logika orde pertama membutuhkan skema aksioma yang terpisah untuk masing-masing kemungkinan predikat.