mtk

Minggu, 02 Januari 2011

bukti Rumus jarak titik ke garis

Perhatikan gambar di samping!
d adalah jarak titik A ke garis ax+by+c=0
misalkan :

$A(x_0,y_0),maka B(x_0,\frac{-ax_0-c}{b}),C(\frac{-by_0-c}{a},y_0)$

$|AB|=\sqrt{(\frac{-ax_0-c}{b}-y_0)^{2}}=|\frac{ax_0+by_0+c}{b}|$

$|AC|=\sqrt{(x_0-\frac{-by_0-c}{a})^2}=|\frac{ax_0+by_0+c}{a}|$

$|BC|=\sqrt{(x_0-\frac{-by_0-c}{a})^2+(\frac{-ax_0-c}{b}-y_0)^2}\Rightarrow$

$|BC|=\sqrt{\frac{(ax_0+by_0+c)^2}{a^2}+\frac{(ax_0+by_0+c)}{b^2}}=\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}} \sqrt{(ax_0+by_0+c)^2}\Rightarrow$

$|BC|=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2b^2}}|ax_0+by_0+c|=\frac{|ax_0+by_0+c|\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}$

Jadi,jarak titik A ke garis (d) :

$d=\frac{|AB||AC|}{|BC|}=\frac{|(ax_0+by_0+c)/a|.|(ax_0+ay_0+c)/b|}{(|ax_0+by_0+c|\sqrt{a^2+b^2})/|ab|}=\frac{|ax_0^2+by_0+c|^2}{|ab|}.\frac{|ab|}{|ax_0+by_0+c|\sqrt{a^2+b^2}}\Rightarrow$

$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Invers Trigonometri

- untuk cos(arcsin x)

$x=siny,\rightarrow y=\sin^{-1}x, di mana -\frac{\Pi }{2}\leq y\leq \frac{\Pi }{2}$

$x=sin(\sin^{-1}x)$

$cosx=\sqrt{1-sin^{2}x}\Rightarrow cos(\sin^{-1}x)=\sqrt{1-sin^{2}(\sin^{-1}x)}=\sqrt{1-x^{2}}$

- untuk sin(arccos x)

$x=cosy\Rightarrow y=\cos^{-1}x,di mana 0\leq x\leq \Pi$

$x=cos(\cos^{-1}x)$

$sinx=\sqrt{1-cos^{2}x}\Rightarrow sin(\cos^{-1}x)=\sqrt{1-cos^{2}(\cos^{-1}x))}=\sqrt{1-x^{2}}$

- untuk tan(arcsin x)

$x=tan y\Rightarrow y=\tan^{-1}x,di mana -\frac{\Pi }{2}< x< \frac{\Pi }{2}$

$x=tan(\tan^{-1}x)$

$tanx=\frac{sinx}{cosx}\Rightarrow tan(\sin^{-1}x)=\frac{sin(\sin^{-1}x)}{cos(\sin^{-1}x)}=\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

- untuk tan (arccos x)

$x=tan y\Rightarrow y=\tan^{-1}x,di mana -\frac{\Pi }{2}< x< \frac{\Pi }{2}$

$x=tan(\tan^{-1}x)$

$tan x=\frac{sin x}{cos x}\rightarrow tan(\cos^{-1}x)=\frac{\sin(\cos^{-1}x)}{cos(\cos^{-1}x)}=\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}$

- untuk cos(arctan x):

$sec^{2}x=1+tan^{2}x\Rightarrow \frac{1}{cos^{2}x}=1+tan^{2}x\Rightarrow cos^{2}x=\frac{1}{1+tan^{2}x}\Rightarrow cosx=\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}x}}$

$cos(\tan^{-1}x)=\frac{1}{\sqrt{1+tan^{2}(\tan^{-1}x)}}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$

- untuk sin(arctan x)

$sinx=tanx.cosx\Rightarrow sin(\tan^{-1}x)=tan(\tan^{-1}x).cos(\tan^{-1}x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

Sabtu, 01 Januari 2011

Bukti turunan cos x adalah -sinx

misalkan f(x)=cos x,maka

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos(x+h)-cosx}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosxcosh-sinxsinh-cosx}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosxcosh-cosx-sinxsinh}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosx(cosh-1)-sinxsinh}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosx(cosh-1)}{h}-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinxsinh}{h}$

$f'(x)=cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}-sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}$

f'(x)=(cosx)(0)-(sinx)(1)=-sinx

bukti turunan sin x adalah cos x

misalkan f(x)=sin x, maka

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(x+h)-sinx}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinxcosh+sinhcosx-sinx}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinxcosh-sinx+sinhcosx}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinx(cosx-1)+sinhcosx}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinx(cosh-1)}{h}+\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinhcosx}{h}$

$f'(x)=sinx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}+cosx\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}$

f'(x)=(sinx)(0)+(cosx)(1)

catatan:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cosh-1}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(cosh-1)(cosh+1)}{h(cosh+1)}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{cos^{2}h-1}{h(cosh+1)}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{-sin^{2}h}{h(cosh+1)}=-\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{h}.\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sinh}{cosh+1}=(-1)(0)=0$

bukti aturan perkalian turunan

misalkan f(x)=u(x).v(x),maka aturan perkaliannya:

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)

bukti:

karena f(x)=u(x).v(x) ,maka

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h).v(x+h)-u(x).v(x)}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h).v(x+h)-u(x+h).v(x)+u(x+h).v(x)-u(x).v(x)}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h).(v(x+h)-v(x))+(u(x+h)-u(x)).v(x)}{h}$

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}u(x+h).\lim_{h\rightarrow 0}\frac{v(x+h)-v(x)}{h}+(\lim_{h\rightarrow 0}\frac{u(x+h)-u(x)}{h}).v(x)$

f'(x)=u(x).v'(x)+u'(x).v(x)

Topologi

Topologi (dari bahasa yunani τόπος, "tempat", dan λόγος, "ilmu") merupakan cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu (yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk atau dilekatkan). Ia muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, transformasi.

Ide yang sekarang diklasifikasikan kedalam topologi telah dinyatakan semenjak 1736, dan pada akhir abad ke-19 sebuah ilmu yang jelas terpisah dikembangkan. Ilmu ini disebut dalam bahasa Latin sebagai geometria situs ( "geometri dari tempat") atau analisis situs (Yunani-Latin untuk "pengkajian tempat "), dan kemudian memperoleh nama mutakhir topologi. Di tengah-tengah abad ke-20, ilmu ini adalah kawasan pertumbuhan yangpenting dalam matematika.

Kata topologi digunakan baik untuk cabang matematika dan untuk keluarga himpunan dengan beberapa properti yang digunakan untuk menentukan ruang Topologi, objek dasar dari topologi. Beberapa yang penting adalah homemorpisme, yang dapat didefinisikan sebagai dengan balikan malar pula. Misalnya, fungsi y = x3 adalah homeomordisme dari deret nyata.

Topologi mencakup banyak subbidang. Bagian yang paling mendasar dan tradisional dalam topologi adalah:

Topologi Titik Himpunan, yang menetapkan dasar aspek topologi dan menyelidiki konsep yang hakiki pada ruang topologi - contoh dasar adalah kekompakan dan Kesinambungan.
Aljabar Topologi, yang umumnya mencoba untuk mengukur tingkat kesinambungan menggunakan konstruksi aljabar seperti kelompok homotopi, homology
Topologi Geometris, yang terutamanya mengkaji manifold dan pembenamannya (penempatannya) di manifold lainnya.

sedangkan definisi dari Topologi :

Abstraksi geometri dimana konsep jarak absolut dibuang, dan kita melihat sub himpunan geometri tak gayut ukuran, bentuk atau lokasi.
Studi dasar-dasar teoritik himpunan untuk konsep fungsi kontinu.
Studi himpunan yang memiliki beberapa ide "kedekatan" titik yang ditetapkan

bukti teorema phytagoras

Perhatikan gambar di samping!
2 persegi masing-masing dengan ukuran (a+b)(a+b) dan c.c dibentuk seperti gambar .ada 2 cara untuk menentukan Luas persegi Yang diluar:

$L=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}.................(1)$

$L=c.c+4.\frac{1}{2}a.b=c^{2}+2a.b...............(2)$

sehingga jika persamaan ke dua di subsitusi ke persamaan pertama,maka:

$c^{2}+2ab=a^{2}+2ab+b^{2}\Rightarrow c^{2}+2ab-2ab=a^{2}+2ab+b^{2}-2ab\Rightarrow c^{2}=a^{2}+b^{2}$

mtk

Total Tayangan Halaman